Question

3．已知函數(shù)y=f（x），x∈R，f（0）≠0，且滿足f（x₁）+f（x₂）=2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$），則函數(shù)f（x）的奇偶性為（　�。�

• A． 是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)
• B． 是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)
• C． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• D． 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

Answer 1

分析 先令x₁=x₂=0，代入得f（0）=1，再令x₁=x，x₂=-x，代入得f（-x）=f（x），所以該函數(shù)為偶函數(shù)．

解答 解：令x₁=x₂=0，代入f（x₁）+f（x₂）=2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$）得，
2f（0）=2[f（0）]²，由于f（0）≠0，
所以f（0）=1，
再令x₁=x，x₂=-x，代入得，f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x），
即f（-x）=f（x），
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義知，f（x）為偶函數(shù)，
故選B．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，用到了函數(shù)的特殊值和函數(shù)奇偶性的定義，屬于中檔題．