Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=（ax-1）e^x+ax+1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線x-y+1=0平行，求a的值；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，問函數(shù)f（x）有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)，若沒有，請說明理由；
（3）若?x＞0，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出f′（x），根據(jù)條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出a的值；
（2）把a=$\frac{1}{2}$代入f（x）求出f′（x），化簡后構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x（x-1）+1，求出g′（x）判斷出g（x）的單調(diào)性和范圍，再判斷出f′（x）與0的關(guān)系，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可判斷出極值點的個數(shù)零，列出關(guān)于a的不等式求解；
（3）求出f′（x）和f（0）的值，設(shè)h（x）=f′（x），求出h′（x），對a分類討論，分別利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再求a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得f（x）=（ax-1）e^x+ax+1，
∴f′（x）=ae^x+（ax-1）e^x+a，
∵在點（0，f（0））處的切線與直線x-y+1=0平行，
∴切線的斜率為f′（0）=a-1+a=1，解得a=1；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=（$\frac{1}{2}$x-1）e^x+$\frac{1}{2}$x+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$e^x+（$\frac{1}{2}$x-1）e^x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[e^x（x-1）+1]，
設(shè)g（x）=e^x（x-1）+1，則g′（x）=e^x（x-1）+e^x=xe^x≥0，
∴g（x）在R上遞增，且g（0）=0，
當x∈（-∞，0）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
當x∈（0，+∞）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上遞減，f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴當x=0時，函數(shù)f（x）取到極小值f（0）=0，沒有極大值，
∴方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）有兩個實根，
∴函數(shù)f（x）有1個極值點；
（3）f′（x）=（ax+a-1）e^x+a，f′（0）=2a-1，且f（0）=0，
設(shè)h（x）=f′（x），則h′（x）=（ax+2a-1）e^x，
①當a≤0時，x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵f′（0）=2a-1＜0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）＜f（0）=0，不成立；
②當0＜a＜$\frac{1}{2}$，x∈（0，$\frac{1}{a}$-2）時，h′（x）＜0，則h（x）在（0，$\frac{1}{a}$-2）上為減函數(shù)，
此時f′（x）＜0，∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上為減函數(shù)，∴f（x）＜f（0）=0，不成立；
③當a≥$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞）時，h′（x）＞0，即f′（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）≥f′（0）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x）＞f（0）=0，不等式成立，
綜上，a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想以及分析、解決問題的能力．