Question

13．四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCDD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°，M是CD上的點(diǎn)，Q點(diǎn)是PC上的點(diǎn)，平面BMQ∥平面PAD．
（1）求$\frac{QM}{PD}$；
（2）求直線BC與平面PCD所成角．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形ABMD是平行四邊形，從而M是CD中點(diǎn)，由此能求出$\frac{QM}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BC與平面PCD所成．

解答 解：（1）∵PA⊥底面ABCDD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°，
M是CD上的點(diǎn)，Q點(diǎn)是PC上的點(diǎn)，平面BMQ∥平面PAD，
∴BM∥AD，∴四邊形ABMD是平行四邊形，
∴AB=DM，∴M是CD中點(diǎn)，
∴MQ∥PD，∴$\frac{QM}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，
則P（0，0，1），B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)直線BC與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，θ=30°，
∴直線BC與平面PCD所成角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段比值的求法，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．