Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且M，N是橢圓C上相異的兩點，若點P（2，0）滿足PM⊥PN，則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MN}$的取值范圍為（　　）

• A． [-25，-$\frac{1}{2}$]
• B． [-5，-$\frac{1}{2}$]
• C． [-25，-1]
• D． [-5，-1]

Answer 1

分析 橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得$\frac{\sqrt{9-^{2}}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，解得b²．可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．設(shè)M（x，y），x∈[-3，3]．可得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{PM}•（\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}）$=$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}-{\overrightarrow{PM}}^{2}$=-${\overrightarrow{PM}}^{2}$，再利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴$\frac{\sqrt{9-^{2}}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，解得b²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
設(shè)M（x，y），x∈[-3，3]．
則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{PM}•（\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}）$=$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}-{\overrightarrow{PM}}^{2}$=-${\overrightarrow{PM}}^{2}$=-[（x-2）²+y²]=-$[（x-2）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{9}]$=$-\frac{8}{9}$$（x-\frac{9}{4}）^{2}$-$\frac{1}{2}$=f（x），
x=$\frac{9}{4}$時，f（x）取得最大值-$\frac{1}{2}$；x=-3時，f（x）取得最小值-25．
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MN}$∈$[-25，-\frac{1}{2}]$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率數(shù)量積原式性質(zhì)、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．