Question

10．在數(shù)列$\{{a_n}\}中，{a_1}=1，{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{4{a_n}}}，{b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}，其中n∈{N^*}$．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）直接利用作差法結(jié)合數(shù)列遞推式即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后代入$_{n}=\frac{2}{2{a}_{n}-1}$得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n代入c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$，得到{c_nc_n+2}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和T_n，則答案得證．

解答 證明：（1）∵b_n+1-b_n=$\frac{2}{2{a}_{n+1}-1}-\frac{2}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{2}{2-（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}-\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{4{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}-\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∵a₁=1，∴$_{1}=\frac{2}{2{a}_{1}-1}=2$，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
由$_{n}=\frac{2}{2{a}_{n}-1}$得，$2{a}_{n}-1=\frac{2}{_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2n}$；
（2）c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{4•\frac{n+1}{2n}}{n+1}=\frac{2}{n}$，
則c_nc_n+2=$\frac{2}{n}•\frac{2}{n+2}=\frac{4}{n（n+2）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴${T}_{n}=2（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=3-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．