Question

5．已知函數(shù)f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx的一條對稱軸為x=-$\frac{π}{6}$，且f（x₁）•f（x₂）=-4，則|x₁+x₂|的最小值為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2}{3}π$
• D． $\frac{4}{3}π$

Answer 1

分析 首先通過三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進一步利用對稱軸確定函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最值確定結(jié)果．

解答 解：f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}sin（x+θ）$，
由于函數(shù)的對稱軸為：x=-$\frac{π}{6}$，
所以$f（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}$，
則：$|-\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}|=\sqrt{{a}^{2}+3}$，
解得：a=1．
所以：f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
由于：f（x₁）•f（x₂）=-4，
所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，
所以：${x}_{1}=2kπ+\frac{5π}{6}$或${x}_{2}=2kπ-\frac{π}{6}$
所以：|x₁+x₂|=4k$π+\frac{2π}{3}$，
當k=0時，最小值為$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，利用對稱軸求函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的最值確定結(jié)果．