Question

16．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，若函數g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0），若對?x₁∈[0，1]，總?x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，6]
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，-4]
• D． [-4，+∞）

Answer 1

分析 函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，當$0≤x≤\frac{1}{2}$時，f（x）∈$[0，\frac{1}{6}]$.$\frac{1}{2}＜x≤1$時，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，利用導數研究函數的單調性可得：f（x）∈$（\frac{1}{6}，1]$．可得?x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[0，1]．由于函數g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調遞增，由于對?x₁∈[0，1]，總?x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得[0，1]∈{g（x）|x∈$[0，\frac{1}{2}]$}，即可得出．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，當$0≤x≤\frac{1}{2}$時，f（x）∈$[0，\frac{1}{6}]$．
$\frac{1}{2}＜x≤1$時，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，f′（x）=$\frac{6{x}^{2}（x+1）-2{x}^{3}}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}（2x+3）}{（x+1）^{2}}$＞0，∴函數f（x）在$（\frac{1}{2}，1]$上單調遞增，∴f（x）∈$（\frac{1}{6}，1]$．
∴?x₁∈[0，1]，∴f（x₁）∈[0，1]．
由于函數g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調遞增，
若對?x₁∈[0，1]，總?x₂∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∈{g（x）|x∈$[0，\frac{1}{2}]$}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=3-\frac{1}{2}a≤0}\\{g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+3≥1}\end{array}\right.$，解得a≥6．
故選：B．

點評 本題考查了函數的單調性與值域、分類討論方法、簡易邏輯的判定方法、利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．