Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x^2}$-x，其中（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，
①求實數(shù)a的取值范圍；   
②證明f（x₁）＜0．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，求得f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）①求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）=lnx-ax=0有兩個不同的實根，討論當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，判斷單調(diào)性可得極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍；
②由①知$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$，f（x₁）是極小值，f（x₂）是極大值，由f′（x₁）=0，求得f（x₁），運用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x₁）＜f（0）=0．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=xlnx-x²-x，f′（x）=lnx-2x，
可得f（1）=-2，f′（1）=-2，
曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+2=-2（x-1），
即為y=-2x；       
（2）①f′（x）=lnx-ax，函數(shù)y=f（x）有兩個極值點x₁、x₂，
即f′（x）=lnx-ax=0有兩個不同的實根，
當(dāng)a≤0時，f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）=0不可能有兩個不同的實根；
當(dāng)a＞0時，設(shè)h（x）=lnx-ax，h′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
若0＜x＜$\frac{1}{a}$時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
若x＞$\frac{1}{a}$時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
可得h（x）的極大值h（$\frac{1}{a}$）=-lna-1＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{e}$；          
②證明：由①知$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$，f（x₁）是極小值，f（x₂）是極大值，
由f′（x）=lnx-ax=0，可得lnx₁-ax₁=0，
可得f（x₁）=x₁lnx₁-$\frac{a}{2}$x₁²-x₁=$\frac{a}{2}$x₁²-x₁=$\frac{a}{2}$（x₁-$\frac{1}{a}$）²-$\frac{1}{2a}$，
可得f（x₁）在（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，即有f（x₁）＜f（0）=0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法，以及函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．