Question

18．如圖，已知F（c，0）是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)；圓F：（x-c）²+y²=a²與x軸交于D，E兩點(diǎn)，其中E是橢圓C的左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)圓F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，試判斷直線AB與圓F的位置關(guān)系；
（3）設(shè)直線BF與橢圓C交于另一點(diǎn)G，直線BD與橢圓C交于另一點(diǎn)M，若△BMG的面積為$\frac{32\sqrt{3}}{13}$，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由于圓F過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，把（-c，0）代入圓F的方程，得4c²=a²，即可得到橢圓的離心率；
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中，令x=0得y²=a²-c²=b²，可知點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，進(jìn)而得到B（0，$\sqrt{3}$c），在圓F的方程中令y=0可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（3c，0），則點(diǎn)A為（-3c，0），利用斜率計(jì)算公式可得k_AB，k_FD．只要判定k_AB•k_FD=-1，即可得到直線AB與⊙F相切；
（3）橢圓的方程可化為3x²+4y²=12c²．由（2）求得BD、BF所在直線方程，聯(lián)立BD方程與橢圓方程求出M的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出M到BF的距離，代入三角形面積公式求得c，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）∵圓F過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，把（-c，0）代入圓F的方程，得4c²=a²，
∴2c=a．
故橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中，令x=0得y²=a²-c²=b²，可知點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，
由（1）知，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}c$，
∴B（0，$\sqrt{3}$c），
在圓F的方程中，令y=0可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（3c，0），則點(diǎn)A為（-3c，0），
于是可得直線AB的斜率${k}_{AB}=\frac{\sqrt{3}c}{3c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
而直線FB的斜率${k}_{FB}=\frac{\sqrt{3}c}{-c}=-\sqrt{3}$，
∵k_AB•k_FB=-1，
∴直線AB與⊙F相切；
（3）橢圓的方程可化為3x²+4y²=12c²．
由（2）知直線BD的方程為$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}c$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}c}\end{array}\right.$，解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{24}{13}c$，$\frac{5\sqrt{3}c}{13}$）．
而FB所在直線方程為y=$-\sqrt{3}x+b$，
M到直線FB的距離為d=$\frac{|-\frac{24\sqrt{3}}{13}c+\frac{5\sqrt{3}}{13}c-b|}{2}=\frac{\frac{19\sqrt{3}}{13}c+b}{2}$=$\frac{16\sqrt{3}}{13}c$，
∴${S}_{△BMG}=\frac{1}{2}•|BG|•d=\frac{1}{2}•4c•\frac{16\sqrt{3}}{13}=\frac{32\sqrt{3}}{13}$，解得c=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問(wèn)題．考查弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．