Question

8．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為2，在正方體內(nèi)隨機取點M
（1）求M落在三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)的概率；
（2）求M落在三棱錐B-A₁B₁C₁內(nèi)的概率；
（3）求M到面ABCD的距離大于$\frac{1}{3}$的概率；
（4）求M到各頂點的距離小于1的概率．

Answer 1

分析 由題意，都符合幾何概型，分別求點M構(gòu)成的幾何體的體積，求體積比即可得到答案．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為2，
故正方體的體積為8，
（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積是正方體底面ABCD的一半，高等于正方體的棱長，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=4，
故M落在三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)的概率P=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵三棱錐B-A₁B₁C₁的底面積是正方體底面ABCD的一半，高等于正方體的棱長，
故三棱錐B-A₁B₁C₁的體積V=$\frac{4}{3}$，
故M落在三棱錐B-A₁B₁C₁內(nèi)的概率P=$\frac{\frac{4}{3}}{8}$=$\frac{1}{6}$，
（3）M與面ABCD的距離大于$\frac{1}{3}$時，
所有的點M構(gòu)成一個底面底面積是正方體底面ABCD，高為$\frac{2}{3}$的長方體，
故其體積$\frac{16}{3}$，
故M到面ABCD的距離大于$\frac{1}{3}$的概率P=$\frac{\frac{16}{3}}{8}$=$\frac{2}{3}$；
（4）正方體的體對角線長為2$\sqrt{3}$，則求M到各頂點的距離小于x的概率P=0；

點評 本題考查了幾何概型，計算出滿足條件的基本事件對應的幾何體的體積，是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．