Question

3．試證數(shù)列49.4489.444889，…，$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)該數(shù)列為{a_n}，可得a_n=$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$=9+$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}$0+$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{00…0}}{n}$=9+$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-10）$+$\frac{4}{9}$（10²ⁿ-10ⁿ），化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：設(shè)該數(shù)列為{a_n}，
$\underset{\underbrace{99…9}}{n}$=10ⁿ-1，$\underset{\underbrace{88…8}}{n}$=$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-1）$．
∴a_n=$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$=9+$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}$0+$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{00…0}}{n}$=9+$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-10）$+$\frac{4}{9}$（10²ⁿ-10ⁿ）=$（\frac{2•1{0}^{n}+1}{3}）^{2}$，
∴數(shù)列的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、完全平方數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．