Question

7．北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件．
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入$\frac{1}{6}（{{x^2}-600}）$萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入（50+2x）萬(wàn)元作為宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)每件定價(jià)為t元，則（8-（t-25）×0.2）•t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；
（2）由題得當(dāng)x＞25時(shí)：$ax≥25×8+\frac{1}{6}（{{x^2}-600}）+（{50+2x}）$有解，由分離參數(shù)和基本不等式，可得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，
則（8-（t-25）×0.2）•t≥25×8，
整理得t²-65t+1000≤0?25≤t≤40，
∴要滿足條件，每件定價(jià)最多為40元；                   
（2）由題得當(dāng)x＞25時(shí)：$ax≥25×8+\frac{1}{6}（{{x^2}-600}）+（{50+2x}）$有解，
即：$a≥\frac{150}{x}+\frac{1}{6}x+2，x＞25$有解．
又$\frac{150}{x}+\frac{1}{6}x≥2\sqrt{\frac{150}{x}•\frac{x}{6}}=10$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=30＞25時(shí)取等號(hào)，
∴a≥12．
即改革后銷售量至少達(dá)到12萬(wàn)件，才滿足條件，此時(shí)定價(jià)為30元/件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式的解法和不等式有解的條件，主要考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．