Question

4．如表是某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸）標準煤的幾組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6	7
y	5.8	8.2	9.7	12.2	14.1

（1）請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān)，并估計產(chǎn)量為20噸時，生產(chǎn)能耗為多少噸標準煤？
參考數(shù)值：3×5.8+4×8.2+5×9.7+6×12.2+7×14.1=270.6．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)$\hat$的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出$\hat{a}$的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，由回歸系數(shù)，可知正相關(guān)還是負相關(guān)，把x=20代入線性回歸方程，預測生產(chǎn)20噸時，生產(chǎn)能耗為多少噸標準煤．

解答 解：（1）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+4+5+6+7）=5（噸），$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5.8+8.2+9.7+12.2+14.1）=10（噸），
$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=3×5.8+4×8.2+5×9.7+6×12.2+7×14.1=270.6，
$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=9+16+25+36+49=135，
∴$\hat$=$\frac{270.6-5•5•10}{135-5•5•5}$=2.06，
∴$\hat{a}$=10-2.06×5=-0.3，
∴y關(guān)于x的回歸方程為$\widehat{y}$=2.06x-0.3；
（2）由（1）中y關(guān)于x的回歸方程為$\widehat{y}$=2.06x-0.3，
2.06＞0，故x與y之間是正相關(guān)，
當x=20時，$\widehat{y}$=2.06×20-0.3=40.9，
故產(chǎn)量為20噸時，生產(chǎn)能耗約為40.9噸標準煤．

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個基礎(chǔ)題，解題時運算量比較大，注意利用公式求系數(shù)時，不要在運算上出錯．屬于中檔題．