Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=e^x•f′（x），（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；
（2）不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）依題意得：g（x）=e^x•cosx，g'（x）=e^x（cosx-sinx），
∴$x∈[0，\frac{π}{4}]，g'（x）＞0，x∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]，g'（x）＜0$．
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，\frac{π}{4}]$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$．   
（2）等價(jià)于對(duì)任意$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，m≤[g（x）-x•f（x）]_min．
設(shè)h（x）=g（x）-x•f（x），$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$．
則h'（x）=e^xcosx-e^xsinx-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx
因?yàn)?x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，所以（e^x-x）cosx≥0，（e^x+1）sinx≤0，
所以h'（x）＞0，故h（x）在$[{-\frac{π}{2}，0}]$單調(diào)遞增，
因此當(dāng)$x=-\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值$h（{-\frac{π}{2}}）=-\frac{π}{2}$；
所以$m≤-\frac{π}{2}$，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{-∞，-\frac{π}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，最值的關(guān)系，以及不等式恒成立的問題，關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．