Question

【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（2）=4，
∴g（x）=2x；
（2）由（1）知：f（x）=是奇函數(shù)．
因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，即，∴n=1；
∴f（x）=，又由f（1）=﹣f（﹣1）知
，∴m=2；
（3）由（2）知f（x）==-+，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式：
f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價(jià)于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因f（x）為減函數(shù)，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ，
即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得：k＜-．
【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；
（2）由題意知f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1），解方程組即可求出m，n的值；
（3）由已知易知函數(shù)f（x）在定義域f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)．我們可將f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式組，解不等式組，即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．