Question

12．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=-lnx，若曲線g（x）=f（x）-2ax在（0，e²]（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的圖象與x軸有3個交點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{4e}$，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{4e}$，$\frac{1}{2e}$]
• C． [$\frac{1}{e^2}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{1}{e^2}$，$\frac{1}{2e}$）

Answer 1

分析 由題意先求出設(shè)x∈[1，+∞）上的解析式，再用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）=f（x）-2ax與x軸有3個交點時實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)x∈[1，+∞），
則$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
因為當(dāng)x∈（0，1]時，
f（x）=-lnx，
所以f（x）=f（$\frac{1}{x}$）=-ln$\frac{1}{x}$=lnx，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，x∈（0，1]}\\{lnx，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$，
在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
因為曲線g（x）=f（x）-2ax在（0，e²]（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的圖象與x軸有3個交點，
所以直線y=ax與函數(shù)f（x）的圖象有3個交點，
所以y=ax與y=lnx，在（1，e²]上有2個交點，
因為f（x）=lnx，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點為（x₀，y₀），
則f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，f（x₀）=lnx₀，
則2a=$\frac{1}{{x}_{0}}$，2ax₀=lnx₀，
所以x₀=e，
此時a=$\frac{1}{2e}$，
當(dāng)x=e²，此時f（x）=lne²=2，
所以2=2ae²，
則a=$\frac{1}{{e}^{2}}$
所以實數(shù)a的取值范圍是：[$\frac{1}{e^2}$，$\frac{1}{2e}$），
故選：D．

點評 本題考查了方程的根的存在性以及根的個數(shù)的判斷，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜的問題簡單化．