Question

3．如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長是2，側棱長是16，M，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點．
（1）求異面直線MN與A₁C₁所成角的大小（結果用反三角表示）
（2）求直線MN與平面ACC₁A₁所成的角（結果用反三角函數(shù)表示）]．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，由M，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點，可得MN∥BC₁，則A₁C₁B為異面直線MN與A₁C₁所成角，求解直角三角形可得異面直線MN與A₁C₁所成角；
（2）連接AC、BD交于O，則BO⊥AC，由平面ABC⊥平面A₁ACC₁，可得BO⊥平面A₁ACC₁，則∠BC₁O為直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，即直線MN與平面ACC₁A₁所成的角，求解直角三角形得答案．

解答 解：（1）連接BC₁，∵M，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點，∴MN∥BC₁，
則A₁C₁B為異面直線MN與A₁C₁所成角，
連接A₁B，在△A₁BC₁中，由已知可得：${A}_{1}{C}_{1}=2\sqrt{2}$，$B{C}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+1{6}^{2}}=2\sqrt{65}$．
∴cos∠A₁C₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{130}}{130}$，則∠A₁C₁B=arccos$\frac{\sqrt{130}}{130}$．
即異面直線MN與A₁C₁所成角為arccos$\frac{\sqrt{130}}{130}$；
（2）連接AC、BD交于O，則BO⊥AC，
∵平面ABC⊥平面A₁ACC₁，且平面ABC∩平面A₁ACC₁=AC，
∴BO⊥平面A₁ACC₁，
連接C₁O，則∠BC₁O為直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，
即直線MN與平面ACC₁A₁所成的角，
在Rt△BOC₁中，BO=$\sqrt{2}$，又$B{C}_{1}=2\sqrt{65}$，
∴sin∠BC₁O=$\frac{BO}{B{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{130}}{130}$，則∠BC₁O=arcsin$\frac{\sqrt{130}}{130}$．
即直線MN與平面ACC₁A₁所成的角為arcsin$\frac{\sqrt{130}}{130}$．

點評 本題考查異面直線所成角及線面角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．