Question

8．已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）求x＜0時f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，-2]上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）f（x）為偶函數(shù)，求x＜0時的f（x）解析式，從而設x＜0，便有-x＞0，從而得到f（-x）=$-x-\frac{4}{x}=f（x）$，這樣即得出了x＜0時f（x）的解析式；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設任意的x₁＜x₂≤-2，然后作差，通分，提取公因式x₂-x₁，從而判斷f（x₁）與f（x₂）的關(guān)系即可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）設x＜0，-x＞0，則：f（-x）=$-x-\frac{4}{x}$=f（x）；
∴x＜0時，f（x）=$-x-\frac{4}{x}$；
（2）x≤-2時，f（x）=$-x-\frac{4}{x}$，設x₁＜x₂≤-2，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=-{x}_{1}-\frac{4}{{x}_{1}}+{x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂≤-2；
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-2]上單調(diào)遞減．

點評 考查偶函數(shù)的定義，根據(jù)偶函數(shù)的定義求函數(shù)在對稱區(qū)間上解析式的方法，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差之后，是分式的一般要通分，一般提取公因式x₁-x₂或x₂-x₁．