Question

17．已知直線y=kx+1與圓x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 利用向量求得坐標(biāo)之間的關(guān)系，直線y=kx+1，代入x²+y²=4，可得x=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)動點(diǎn)P（x，y）及圓上點(diǎn)A（a，b），B（m，n），
∵以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴（a+m，b+n）=（x，y），
直線y=kx+1，代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²+2kx-3=0，
∴a+m=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，
∴b+n=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$
∴x=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$
∴x²+（y-1）²=1．
點(diǎn)P的軌跡方程為：x²+（y-1）²=1．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是確定動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用消參法求軌跡方程．