Question

5．如圖四棱錐P-ABCD中PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，∠PDA=30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）點E為邊BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件知四棱錐P-ABCD的高為PA=1，而又能求出AD，所以可求矩形ABCD的面積，從而根據(jù)棱錐的體積公式求出該四棱錐的體積；
（2）若E為BC邊的中點，便可得到EF為△PBC的中位線，從而EF∥PC，從而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出EF∥平面PAC；
（3）先根據(jù)條件說明BC⊥AF，而根據(jù)PA=AB，F(xiàn)為PB中點可得到AF⊥PB，從而根據(jù)線面垂直的判定定理可得到AF⊥平面PBC，所以無論點E在邊BC的何處，PE?平面PBC，所以得出PE⊥AF．

解答 解：如下圖，
（1）根據(jù)已知條件，PA是四棱錐P-ABCD的高，且PA=1；
又在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°；
∴AD=$\sqrt{3}$，AB=1；
∴${S}_{四邊形ABCD}=\sqrt{3}$；
∴${V}_{四棱錐P-ABCD}=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•1=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）F，E分別為PB，BC邊的中點；
∴EF∥PC；
PC?平面PAC，EF?平面PAC；
∴EF∥平面PAC；
即EF與平面PAC的位置關(guān)系為平行；
（3）PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴PA⊥BC；
PA=AB，F(xiàn)為PB邊中點；
∴AF⊥PB，PB∩BC=B；
∴AF⊥PBC，PE?平面PBC；
AF⊥PE，即PE⊥AF；
∴無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

點評 考查線面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積公式，以及三角形中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理．