Question

13．把下列參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=cos2θ+1}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）

Answer 1

分析 （1）x=3-2t兩邊乘以2減去y=-1-4t即可得出；
（2）利用倍角公式可得y=2x²（x∈[-1，1]），表示拋物線的一部分；
（3）兩式相加可得x+y=2t，兩式相減可得x-y=$\frac{2}{t}$，再相乘可得x²-y²=4，表示等軸雙曲線；
（4）利用sin²φ+cos²φ=1，可得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示焦點在x軸上的橢圓．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為2x-y-7=0，表示一條直線；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=cos2θ+1}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），∵y=2cos²θ，∴y=2x²（x∈[-1，1]），表示拋物線的一部分；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），兩式相加可得x+y=2t，兩式相減可得x-y=$\frac{2}{t}$，∴x²-y²=4，表示等軸雙曲線；
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用sin²φ+cos²φ=1，可得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示焦點在x軸上的橢圓．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、圓錐曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．