Question

8．已知f（x）是函數(shù)y=0.3^2x+3的反函數(shù)，且f（a），f（2a）都有意義．
（1）求f（x）；
（2）試比較2f（2a）與4f（a）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）化指數(shù)式為對數(shù)式，然后把x，y互換得答案；
（2）把2f（2a）與4f（a）代入函數(shù)f（x）的解析式，然后通過比較真數(shù)的大小，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到2f（2a）與4f（a）的大小．

解答 解：（1）由y=0.3^2x+3，得0.3^2x=y-3，
∴2x=log_0.3（y-3），則$x=\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（y-3）$，
x，y互換得：$y=\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（x-3）$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（x-3）$；
（2）2f（2a）=$2×\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（2a-3）=lo{g}_{0.3}（2a-3）$，
4f（a）=$4×\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（a-3）=lo{g}_{0.3}（a-3）^{2}$，
由f（a），f（2a）都有意義，得a＞3．
當(dāng)3＜a＜6時，（a-3）²＜2a-3，則4f（a）＞2f（2a）；
當(dāng)a=6時，（a-3）²=2a-3，則4f（a）=2f（2a）；
當(dāng)a＞6時，（a-3）²＞2a-3，則4f（a）＜2f（2a）．

點評 本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，訓(xùn)練了作差法比較兩個代數(shù)式的大小，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．