Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，定義$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}-{y}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，（n∈N^*） 為點(diǎn)P_n（x_n，y_n）到點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個(gè)變換，我們把它稱(chēng)為點(diǎn)變換，已知P₁（1，0），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…是經(jīng)過(guò)點(diǎn)變換得到的一無(wú)窮點(diǎn)列，則P₃的坐標(biāo)為（0，2）；設(shè)a_n=$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}•}$$\overrightarrow{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}$，則滿足a₁+a₂+…+a_n＞1000的最小正整數(shù)n=10．

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可求得點(diǎn)P₁，P₂到P₇的坐標(biāo)，從而可以求出向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}，\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}，…，\overrightarrow{{P}_{6}{P}_{7}}$的坐標(biāo)，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可求出a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=16，從而便可看出數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求出前n項(xiàng)和為2ⁿ-1，從而可以得到2ⁿ＞1001，這樣便可判斷出最小正整數(shù)n的值．

解答 解：由條件得，P₁（1，0），P₂（1，1），P₃（0，2），P₄（-2，2），P₅（-4，0），P₆（-4，-4），P₇（0，-8）…；
∴${a}_{1}=\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}•\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}=（0，1）•（-1，1）=1$，${a}_{2}=\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}•\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}=（-1，1）•（-2，0）=2$，${a}_{3}=\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}•\overrightarrow{{P}_{4}{P}_{5}}=（-2，0）•（-2，-2）=4$，${a}_{4}=\overrightarrow{{P}_{4}{P}_{5}}•\overrightarrow{{P}_{5}{P}_{6}}=（-2，-2）•（0，-4）=8$，${a}_{5}=\overrightarrow{{P}_{5}{P}_{6}}•\overrightarrow{{P}_{6}{P}_{7}}=（0，-4）•（4，-4）=16$；
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
∴${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$；
∴由a₁+a₂+…+a_n＞1000得，2ⁿ-1＞1000；
∴2ⁿ＞1001；
∵2⁹=512，2¹⁰=1024；
∴滿足a₁+a₂+…+a_n＞1000的最小正整數(shù)n=10．
故答案為：（0，2），10．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)點(diǎn)變換的理解，能夠根據(jù)P₁點(diǎn)的坐標(biāo)求出P₂，P₃，P₄，…點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，估算的方法．