Question

16．在平面直角坐標系中，定義$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}-{y}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，（n∈N^*） 為點P_n（x_n，y_n）到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換，我們把它稱為點變換，已知P₁（1，0），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…是經過點變換得到的一無窮點列，則P₃的坐標為（0，2）；設a_n=$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}•}$$\overrightarrow{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}$，則滿足a₁+a₂+…+a_n＞1000的最小正整數(shù)n=10．

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可求得點P₁，P₂到P₇的坐標，從而可以求出向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}，\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}，…，\overrightarrow{{P}_{6}{P}_{7}}$的坐標，進行向量數(shù)量積的坐標運算便可求出a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=16，從而便可看出數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求出前n項和為2ⁿ-1，從而可以得到2ⁿ＞1001，這樣便可判斷出最小正整數(shù)n的值．

解答 解：由條件得，P₁（1，0），P₂（1，1），P₃（0，2），P₄（-2，2），P₅（-4，0），P₆（-4，-4），P₇（0，-8）…；
∴${a}_{1}=\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}•\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}=（0，1）•（-1，1）=1$，${a}_{2}=\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}•\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}=（-1，1）•（-2，0）=2$，${a}_{3}=\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}•\overrightarrow{{P}_{4}{P}_{5}}=（-2，0）•（-2，-2）=4$，${a}_{4}=\overrightarrow{{P}_{4}{P}_{5}}•\overrightarrow{{P}_{5}{P}_{6}}=（-2，-2）•（0，-4）=8$，${a}_{5}=\overrightarrow{{P}_{5}{P}_{6}}•\overrightarrow{{P}_{6}{P}_{7}}=（0，-4）•（4，-4）=16$；
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
∴${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$；
∴由a₁+a₂+…+a_n＞1000得，2ⁿ-1＞1000；
∴2ⁿ＞1001；
∵2⁹=512，2¹⁰=1024；
∴滿足a₁+a₂+…+a_n＞1000的最小正整數(shù)n=10．
故答案為：（0，2），10．

點評 考查對點變換的理解，能夠根據(jù)P₁點的坐標求出P₂，P₃，P₄，…點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量的坐標，以及向量數(shù)量積的坐標運算，等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的前n項和公式，估算的方法．