Question

5．已知y=f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若f（x）-f（-x）=2x³，且當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）＞3x²，則不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1的解集是（　�。�

• A． $（-\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $（\frac{1}{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-\frac{1}{2}）$
• D． $（-∞，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)令F（x）=f（x）-x³，判斷出F（x）的奇偶性和單調(diào)性，即可得到|x|＞|x-1|，解得即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x³，則由f（x）-f（-x）=2x³，
可得F（-x）=F（x），故F（x）為偶函數(shù)，
又當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）＞3x²即F′（x）＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1化為F（x）＞F（x-1），
所以有|x|＞|x-1|，
解得x＞$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．