Question

18．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積為T_n，若T=${2}^{{n}^{2}-n}$，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}+63}{{2}^{n-1}}$}中最小項(xiàng)的序號(hào)n=4．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=4ⁿ，$\frac{{a}_{n}+63}{{2}^{n-1}}$=2•2ⁿ+$\frac{126}{{2}^{n}}$設(shè)f（x）=2x+$\frac{126}{x}$（x≥2）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積為T_n，
T=${2}^{{n}^{2}-n}$，
∴a₁=T₁=2⁰=1．
n≥2時(shí)，${a}_{n}=\frac{Tn}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}-n}}{{2}^{（n-1）^{2}-n+1}}$=2^2n-2，
${a}_{n}={2}^{2n-2}$，
$\frac{{a}_{n}+63}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{4}^{n}+63}{{2}^{n-1}}$=2^n-1+$\frac{63}{{2}^{n-1}}$=f（n），
考察函數(shù)f（x）=x+$\frac{63}{x}$（x≥2）的單調(diào)性，
∴f′（x）=1-$\frac{63}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0≤x＜3$\sqrt{7}$時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞3$\sqrt{7}$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=8時(shí)，f（x）取最小值為：$\frac{127}{8}$，
∴當(dāng)2^n-1=8，n=4時(shí)，取最小值$\frac{127}{8}$，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．