Question

13．已知數列{a_n}是等比數列，其前n項和為S_n，滿足S₂+a₁=0，a₃=12．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數n，使得S_n＞2010？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）S₂+a₁=0，a₁+a₂+a₁=0，求得q=-2，a₁=3，寫出通項公式，
（2）分類討論，當n為奇數時寫出其前n項和公式S_n=2ⁿ⁺¹+1，當n為偶數時寫出其前n項和公式S_n=-2ⁿ⁺¹+1，
判斷S_n＞2010，解得n=9.97，n為奇數，存在最小奇數n=11，使得S_n＞2010．

解答 解：（1）S₂+a₁=0，a₁+a₂+a₁=0，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=-2，
∴q=-2，${a}_{1}•{q}^{2}$
a₁=3，
∴a_n=3（-1）^n-1•2^n-1，
（2）當n為奇數時，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=3（1-2+2²-2³+2⁴+…+2^n-1），
=3[（1+2²+2⁴+…+2^n-1）-（2+2³+2⁵+…+2^n-2），
=3[$\frac{{2}^{n+1}-1}{3}$-$\frac{{2}^{n}-2}{3}$]，
=2ⁿ⁺¹+1；
當n為偶數時，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=3（1-2+2²-2³+2⁴+…-2^n-1），
=3[（1+2²+2⁴+…+2^n-2）-（2+2³+2⁵+…+2^n-1）]，
=3[$\frac{{2}^{n+1}-1}{3}$-$\frac{{2}^{n}-2}{3}$]，
=-2ⁿ⁺¹+1；
S_n＞2010，即2ⁿ⁺¹+1＞2010，n＞9.97，n為奇數，
即n=11，
∴存在最小值n=11，使S₁₁=4097＞2010．

點評 本題考查求等比數列的通項公式及前n項和公式，采用分類n為奇數和偶數的情況，屬于中檔題．