17.若不等式x2+a|x|+1≥0對x∈[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}}$]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A.[-2,+∞)B.[-2,2]C.(-∞,-2]D.[-$\frac{5}{2}$,+∞)

分析 通過討論x的范圍,去掉絕對值號,分離參數(shù)a,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:x2+a|x|+1≥0對x∈[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}}$]恒成立,
x=0時,顯然成立,a∈R;
x∈(0,$\frac{1}{2}}$],等價于a≥-(x+$\frac{1}{x}$),
令f(x)=-(x+$\frac{1}{x}$),x∈(0,$\frac{1}{2}$),
f′(x)=-(1-$\frac{1}{{x}^{2}}$)=$\frac{(1-x)(1+x)}{{x}^{2}}$>0,
∴f(x)在(0,$\frac{1}{2}$]遞增,f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=-$\frac{5}{2}$,
故a≥-$\frac{5}{2}$;
x∈[-$\frac{1}{2}$,0)時,等價于a≥x+$\frac{1}{x}$,
令g(x)=x+$\frac{1}{x}$,x∈[-$\frac{1}{2}$,0),
g′(x)=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+1)(x-1)}{{x}^{2}}$<0,
g(x)在[-$\frac{1}{2}$,0)遞減,
∴g(x)的最大值是g(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{5}{2}$,
故a≥-$\frac{5}{2}$;
故選:D.

點評 本題考查了不等式的解法,考查分類討論思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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