Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx（0＜a＜1）
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷方程f（x）+a+

3

2

=0根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.099）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，由根的存在性定理判斷根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=

1

2

x²-

5

2

x+lnx，
f′（x）=x-

5

2

+

1

x

=

(x- 1 2 )(x-2)

x

，
則x∈（0，

1

2

），（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（

1

2

，2）時(shí)，f′（x）＜0；
即，f（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，2）上單調(diào)遞減．
（2）令g（x）=f（x）+a+

3

2

=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx+a+

3

2

，
g′(x)=x-(a+2)+

2a

x

=

x2-(a+2)x+2a

x

=

(x-2)(x-a)

x

又∵0＜a＜1，
∴g（x）在（0，a），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，2）上單調(diào)遞減．
又∵g（1）=

1

2

-(a+2)+a+

3

2

=0，
∴g（a）＞0，g（2）＜0
又∵g（3）=

9

2

-3(a+2)+2aln3+a+

3

2

=2a（ln3-1）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，a），（2，+∞）內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，則函數(shù)g（x）一共有三個(gè)零點(diǎn)，
因此方程f（x）+a+

3

2

=0根有3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)也考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．