Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是邊長為2的正方形，∠APC是直角，且平面PAC⊥平面ABCD，點E是PA的中點．
（1）證明：AP⊥平面BDE；
（2）若AP=

2

，求直線CD與平面BDE所成的線面角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，交BD于點F，連結(jié)FE，由已知得FE∥PC，AP⊥FE，AC⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明AP⊥平面BDE．
（2）由已知得AE⊥面BDE，∠ABE是直線AB與平面BDE所成角，從而直線CD與平面BDE所成角的大于等于∠ABE，由此能求出直線CD與平面BDE所成角的正弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，交BD于點F，連結(jié)FE，
∵E是PA的中點，∴FE∥PC，
∵AP⊥AC，∴AP⊥FE，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又∵平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面 ABCD=AC，
由面面垂直的性質(zhì)知BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AP，又AP⊥FE，
∴AP⊥平面BDE．
（2）解：∵AP⊥平面BDE，∴AE⊥面BDE，
∴∠ABE是直線AB與平面BDE所成角，
又∵CD∥AB，
∴直線CD與平面BDE所成角的大于等于∠ABE，
∵AE=

1

2

AP=

2

2

，AB=2，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

2 2

2

=

2

4

，
∴直線CD與平面BDE所成角的正弦值為

2

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．