Question

5．如圖，AB是圓O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交圓O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；
（Ⅱ）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{5}$，求$\frac{AF}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，結(jié)合AD是∠BAC的平分線，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根據(jù)DE⊥AE，得到DE⊥OD，結(jié)合圓的切線的判定定理，得到DE是⊙O的切線．
（Ⅱ）連接OD，BC，設(shè)AC=2k，AB=5k，可證OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=$\frac{7}{2}$k，然后通過OD∥AE，利用相似比即可求出$\frac{AF}{DF}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：連接OD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分線是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（5分）
又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線；  …5分
（Ⅱ）解：連接OD，如圖
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G為BC的中點，即BG=CG，
又∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴設(shè)AC=2k，AB=5k，
根據(jù)中位線定理得OG=k，
∴DG=OD-OG=$\frac{3}{2}$k，
又四邊形CEDG為矩形，
∴CE=DG=$\frac{3}{2}$k，
∴AE=AC+CE=$\frac{7}{2}$k，
而OD∥AE，
∴可得$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{DO}=\frac{7}{5}$…10分

點評 本題以角平分線和圓中的垂直線段為載體，通過證明圓的切線，考查了圓的切線的判定定理等知識點，考查了與圓有關(guān)的比例線段，能夠綜合運用勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，屬于中檔題．