Question

已知向量

a

=（1+sin2x，sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊，若f（

A

2

）=2，a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化為y=1+

2

sin（2x-

π

4

），根據(jù)函數(shù)圖象求解．（Ⅱ）知f（

A

2

）=2時(shí)，sin（A-

π

4

）=

2

2

，即A=

π

2

+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（1+sin2x，sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=1+sin2x+sin²x-cos²x，
=1+sin2x-cos2x，
=1+

2

sin（2x-

π

4

），
∴當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

即x=

3π

8

+kπ，k∈Z時(shí)，
函數(shù)取得最大值1+

2

．
（Ⅱ）由（I）知f（

A

2

）=2時(shí)，sin（A-

π

4

）=

2

2

，
∴A-

π

4

=2kπ+

π

4

或A-

π

4

=2kπ+

3π

4

，
即A=

π

2

+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，
∵A是三角形的一個(gè)內(nèi)角，
∴A=

π

2

，即△ABC是直角三角形．
∵a=2，∴b²+c²=4，
∴S_△ABC=

1

2

bc≤

b2+c2

4

=1（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

2

時(shí)，取得最大值），
∴△ABC面積的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，均值不等式的求解，屬于難題．