Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos2C-2

2

cos（A+B）+2=0．
（1）求角C的大小；
（2）若b=

2

a，△ABC的面積為

2

2

sinAsinB，求sinA及c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，整理求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把b=

2

a，sinC的值，以及已知面積代入整理表示出ac，再利用正弦定理化簡(jiǎn)求出c的值，由余弦定理求出a的值，進(jìn)而確定出sinA的值即可．

解答： 解：（1）已知等式變形得：2cos²C-1+2

2

cosC+2=0，即2cos²C+2

2

cosC+1=0，
整理得：（

2

cosC+1）²=0，
解得：cosC=-

2

2

，
則C=

3π

4

；
（2）∵b=

2

a，sinC=

2

2

，△ABC的面積為

2

2

sinAsinB，
∴

1

2

absinC=

2

2

sinAsinB，即a²sinC=sinAsinB，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得到asinC=csinA，即a²sinC=acsinA，
可得ac=sinB，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

2

sinA，即ac=

2

sinA，
把a(bǔ)=

csinA

sinC

代入得：

c2sinA

sinC

=

2

sinA，即c²=

2

sinC=1，
解得：c=1，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即1=a²+2a²+2a²，即a=

5

5

，
則sinA=

asinC

c

=

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．