Question

3．已知A為△ABC的最小內(nèi)角，若向量$\overrightarrow{a}$=（cosA，1），$\overrightarrow$=（2sin（A+$\frac{π}{6}$），1），則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• B． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． （2，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 由題意可得A≤$\frac{π}{3}$，化簡$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$ 為sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，再根據(jù)2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的范圍．

解答 解：∵A為△ABC的最小內(nèi)角，∴A≤$\frac{π}{3}$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2sin（A+$\frac{π}{6}$）cosA+1=2（sinA•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cosA•$\frac{1}{2}$）cosA+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2sinAcosA+cos²A+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1+cos2A}{2}$+1=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∵2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$∈[2，$\frac{5}{2}$]，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．