Question

13．當x∈[-1，+∞）時，不等式x³-ax²-4x+8≥0恒成立，則a的取值范圍是（-∞，2]．

Answer 1

分析 分類討論，當x∈[-1，0）∪（0，+∞）時，化簡不等式為a≤$\frac{{x}^{3}-4x+8}{{x}^{2}}$=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，再令f（x）=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，求導確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最值，從而解恒成立問題．

解答 解：當x=0時，不等式x³-ax²-4x+8≥0成立，
當x∈[-1，0）∪（0，+∞）時，
x³-ax²-4x+8≥0可化為a≤$\frac{{x}^{3}-4x+8}{{x}^{2}}$=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，
令f（x）=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，則f′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{16}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}+4x-16}{{x}^{3}}$
=$\frac{（x-2）（{x}^{2}+2x+8）}{{x}^{3}}$，
故x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在[-1，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，
而f（-1）=-1+4+8=11，f（2）=2-2+2=2，
故a≤2；
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應用．