Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，AA₁=1（利用空間向量求解及證明）．
（1）求直線AD₁與B₁D所成角；
（2）證明：BD₁⊥B₁C．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以B為坐標(biāo)原點，BA，BC，BB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出A（2，0，0），D₁（2，1，1），D（2，1，0），B₁（0，0，1），得到向量AD₁與B₁D的坐標(biāo)，再由夾角公式，即可得到；
（2）求得D₁（2，1，1），B（0，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0），再求向量BD₁，B₁C的坐標(biāo)，再求出向量的數(shù)量積，即可得證．

解答： （1）解：以B為坐標(biāo)原點，BA，BC，BB₁為x，y，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），D₁（2，1，1），D（2，1，0），
B₁（0，0，1），

AD1

=（0，1，1），

B1D

=（2，1，-1），
則cos＜

AD1

，

B1D

＞=

AD1 • B1D

| AD1 |•| B1D |

=

1×1-1×1

2 • 4+2

=0，則直線AD₁與B₁D所成角為90°；
（2）證明：由（1）得D₁（2，1，1），B（0，0，0），
B₁（0，0，1），C（0，1，0），
則

BD1

=（2，1，1），

B1C

=（0，1，-1），

BD1

•

B1C

=2×0+1×1+1×（-1）=0，
則BD₁⊥B₁C．

點評：本題考查空間異面直線所成的角以及線線位置關(guān)系，考查向量法解決空間角和線面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．