Question

已知函數(shù)y=f（x）  是定義在R上的減函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱．若對任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1≤0）恒成立，x²+y²的最小值是（　�。�

• A、0
• B、

  5

  5

• C、

  2 5

  5

• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點 （1，0）對稱，可得函數(shù)是奇函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，可得y≥-2x+2，設(shè)t=x²+y²，利用換元法，即可求x²+y²的最小值．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點 （1，0）對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點 （0，0）對稱，即函數(shù)是奇函數(shù)
∴不等式f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0等價于不等式f（x²+y-1）≤f（x²-2x+1）
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴x²+y-1≥x²-2x+1，
∴y≥-2x+2
設(shè)t=x²+y²，則x=

t

cosα，y=

t

sinα，
∴

t

sinα≥-2

t

cosα+2
∴

5t

sin（α+φ）≥2，其中sinφ=

2 5

5

∴

5t

≥2，
∴t≥

2 5

5

即x²+y²的最小值是

2 5

5

故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的最值，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．