Question

2．已知將函數(shù)$g（x）=sin（x+\frac{π}{3}+φ）（φ∈R）$圖象上的每一點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$后所得的圖象向右平移$\frac{π}{6}$與f（x）圖象重合，若$f（x）≤|f（\frac{π}{6}）|$對x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�

• A． $[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$
• B． $[kπ，kπ+\frac{π}{2}]（k∈Z）$
• C． $[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$
• D． $[kπ-\frac{π}{2}，kπ]（k∈Z）$

Answer 1

分析 由已知利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求f（x）的解析式，由若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對x∈R恒成立，結(jié)合函數(shù)最值的定義，我們易得f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值或最小值，由此可以確定滿足條件的初相角φ的值，結(jié)合f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），易求出滿足條件的具體的φ值，然后根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，即可得到答案．

解答 解：∵將函數(shù)$g（x）=sin（x+\frac{π}{3}+φ）（φ∈R）$圖象上的每一點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$后，所得的圖象解析式為：y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
向右平移$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)解析式為：y=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$+φ]=sin（2x+φ），
∴由題意f（x）=sin（2x+φ），
∵$f（x）≤|f（\frac{π}{6}）|$，對x∈R恒成立，
∴f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值或最小值，即2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴則φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），即sinφ＜0，
令k=-1，此時φ=-$\frac{5π}{6}$，滿足條件．
令2x-$\frac{5π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z
解得x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，其中根據(jù)已知條件求出滿足條件的初相角φ的值，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．