已知a＞0，b＞0，求證：
2ab
a+b
≤
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
．
考點：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：由基本不等式可得
ab
≤
a+b
2
顯然成立，只需證明
2ab
a+b
≤
ab
和≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
即可，分析法可證．
解答： 證明：由基本不等式可得
ab
≤
a+b
2
顯然成立，
下面證明：
2ab
a+b
≤
ab
和≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，
要證
2ab
a+b
≤
ab
只需證
2
ab
a+b
≤1，
即證2
ab
≤a+b，即
ab
≤
a+b
2
，上面已經(jīng)證明，
要證
a+b
2
≤
a2+b2
2
，只需證(
a+b
2
)2≤
a2+b2
2
，
即證
a2+b2+2ab
4
≤
a2+b2
2
，即2ab≤a2+b2，
即a2+b2-2ab≥0，即（a-b）2≥0，顯然成立，
∴
2ab
a+b
≤
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號．
點評：本題考查不等式的證明，涉及基本不等式和分析法證明不等式，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算：cos
2
7
π•cos
4
7
π•cos
6
7
π的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算：log2
8
+lg20-lg2+3 log42-（-2）0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC兩兩垂直，則該三棱錐外接球的表面積為（　�。�
A、
3
4
π
B、
3
2
π
C、3π
D、12π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是某建筑設(shè)計院為海南國際展覽館的主展廳的屋面和水平主梁位于中軸線一側(cè)的垂直截面的設(shè)計圖，設(shè)計師以屋面曲線C和水平主梁L的交噗O為原點，水平主梁所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)計要求如下：屋面曲線C方程為y=
x
（x≥0），水平主梁對屋面曲線的支撐構(gòu)成正三角形（稱為支梁三角形）：△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Qn-1PnQn（n∈N*），其中P1，P2，P3，…Pn在屋面曲線C上，O，Q1，Q2，Q3，…，Qn在水平主梁上，記△OP1Q1的邊長為a1（米），△Qk-1PkQk的邊長為ak（米）（k=1，2，…，n，Q0為坐標(biāo)原點O），請你解答如下問題：
（Ⅰ）求a1，a2的值，并推導(dǎo)ak關(guān)于k的表達(dá)式；
（Ⅱ）記△Qk-1PkQk的面積為bk，Tn=b1+b2+…bn，△OPnQn的面積為tn，定義δ n=
Tn
tn
為防震系數(shù)，若要求防震系數(shù)為0.7，問共需要設(shè)計多少個支梁三角形？（參考公式12+22+…n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某旅游景點2012年的利潤為100萬元，因市場競爭，若不開發(fā)新項目，預(yù)測從2013年起每年利潤比上一年減少4萬元，2013年初，該景點一次性投入90萬元開發(fā)新項目，預(yù)測在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下，第n年（n為正整數(shù)，2013年為第1年）的利潤為100（1+
1
3n
）萬元．
（1）設(shè)從2013年起的前n年，該景點不開發(fā)新項目的累計利潤為An萬元，開發(fā)新項目的累計利潤為Bn萬元（須扣除開發(fā)所投入的資金），求An，Bn的表達(dá)式；
（2）依上述預(yù)測，該景點從第幾年開始，開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l：x-y+b=0與曲線
x=1+
2
cosθ
y=-2+
2
sinθ
（θ是參數(shù)）相切，則b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
x+1
，求[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）]+[f（
1
1
）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2011
）]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=（3，4），
OB
=（6，-3），
OC
=（5-x，-3-y）（其中O為坐標(biāo)原點）．
（1）若A，B，C三點共線，求y關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）若△ABC是以∠B為直角的等腰三角形，求x，y的值．

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同步練習(xí)冊答案