Question

如圖是某建筑設(shè)計(jì)院為海南國際展覽館的主展廳的屋面和水平主梁位于中軸線一側(cè)的垂直截面的設(shè)計(jì)圖，設(shè)計(jì)師以屋面曲線C和水平主梁L的交噗O為原點(diǎn)，水平主梁所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)計(jì)要求如下：屋面曲線C方程為y=

x

（x≥0），水平主梁對屋面曲線的支撐構(gòu)成正三角形（稱為支梁三角形）：△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n（n∈N*），其中P₁，P₂，P₃，…P_n在屋面曲線C上，O，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n在水平主梁上，記△OP₁Q₁的邊長為a₁（米），△Q_k-1P_kQ_k的邊長為a_k（米）（k=1，2，…，n，Q₀為坐標(biāo)原點(diǎn)O），請你解答如下問題：
（Ⅰ）求a₁，a₂的值，并推導(dǎo)a_k關(guān)于k的表達(dá)式；
（Ⅱ）記△Q_k-1P_kQ_k的面積為b_k，T_n=b₁+b₂+…b_n，△OP_nQ_n的面積為t_n，定義δ _n=

Tn

tn

為防震系數(shù)，若要求防震系數(shù)為0.7，問共需要設(shè)計(jì)多少個支梁三角形？（參考公式1²+2²+…n²=

n(n+1)(2n+1)

6

）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意可知P₁（

1

2

a₁，

3

2

a₁），從而可得

3

2

a₁=

1 2 a1

；從而求a₁，同理求a₂，記s_k=a₁+a₂+…+a_k；則點(diǎn)Q_k（s_k，0），設(shè)P_k+1（x_k+1，y_k+1）；則y²_k+1=x_k+1=

sk+sk+1

2

，再由y_k+1=

3

2

a_k+1可得{a_k}為等差數(shù)列，所以a_k=

2

3

k；
（Ⅱ）由b_k=S△Qk-1PkQk=

3

4

a²_k=

3

9

k²可得T_n=

3

9

（1²+2²+…n²）=

3

9

n(n+1)(2n+1)

6

=

3

54

n（n+1）（2n+1）；再求t_n=S△OPnQn=

1

2

s_n•y_n=

1

2

•

2

3

•

n(n+1)

2

•

3

2

a_n=

3

18

n•n（n+1），從而可得δ _n=

Tn

tn

=

2n+1

3n

=0.7，從而解得．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，P₁（

1

2

a₁，

3

2

a₁），
故

3

2

a₁=

1 2 a1

；
解得，a₁=

2

3

；
于是P₂（

2

3

+

1

2

a₂，

3

2

a₂），
則可得

3

2

a₂=

2 3 + 1 2 a2

，
解得，a₂=

4

3

；
記s_k=a₁+a₂+…+a_k；
則點(diǎn)Q_k（s_k，0），P_k+1（x_k+1，y_k+1）；
由題意可得，y²_k+1=x_k+1=

sk+sk+1

2

，
又y_k+1=

3

2

a_k+1，
所以

sk+sk+1

2

=

3

4

a²_k+1，
即s_k+s_k+1=

3

2

a²_k+1，
故s_k-1+s_k=

3

2

a²_k，
故a_k+1+a_k=

3

2

（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k），
又∵a_k+1＞0，a_k＞0，
故a_k+1-a_k=

2

3

（k≥2），又a₂-a₁=

2

3

；
故{a_k}為等差數(shù)列，所以a_k=

2

3

k；
（Ⅱ）由于b_k=S△Qk-1PkQk=

3

4

a²_k=

3

9

k²；
則T_n=

3

9

（1²+2²+…n²）=

3

9

n(n+1)(2n+1)

6

=

3

54

n（n+1）（2n+1）；
又t_n=S△OPnQn=

1

2

s_n•y_n=

1

2

•

2

3

•

n(n+1)

2

•

3

2

a_n=

3

18

n•n（n+1），
所以δ _n=

Tn

tn

=

2n+1

3n

=0.7，
解得，n=10；
故共需要設(shè)計(jì)10個支梁三角形．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了函數(shù)與數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．