Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．?dāng)?shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)b₁=1，b₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_bn，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出a₁=1，d=2，從而a_n=2n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式能求出q=2，從而b_n=2^n-1．（n∈N^*）
（2）由c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1，利用分組求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225，
∴

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)b₁=1，b₄=8，
∴b4=q3=8，解得q=2，
∴b_n=2^n-1．（n∈N^*）
（2）∵c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1
∴T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．