Question

已知拋物線y=x²-4x-5與x軸、y軸分別相交于A，B，C三點．
（1）求三角形△ABC的外接圓M的方程；
（2）設(shè)點P為圓M上的一個動點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般式方程，代入點，得到三個方程，解出即可；
（2）運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)出點P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點的距離公式，化簡整理得到三角函數(shù)的式子，運(yùn)用兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值，再由誘導(dǎo)公式即可求出P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由于y=x²-4x-5，令x=0，得y=-5，
即有C（0，-5），令y=0，解得，x=-1或5，
即有A（-1，0），B（5，0）．
設(shè)三角形△ABC的外接圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

1-D+F=0 25+5D+F=0 25-5E+F=0

解得，

D=-4 E=4 F=-5

，
則三角形△ABC的外接圓M的方程為x²+y²-4x+4y-5=0；
（2）由于x²+y²-4x+4y-5=0的圓心為（2，-2），半徑為

13

點P為圓M上的一個動點，可設(shè)P（2+

13

cosα，-2+

13

sinα），
則|PA|²+|PB|²+|PC|²=（3+

13

cosα）²+（-2+

13

sinα）²+（-3+

13

cosα）²+
（-2+

13

sinα）²+（2+

13

cosα）²+（3+

13

sinα）²
=78-2

13

sinα+4

13

cosα=78-2

65

（

1

5

sinα-

2

5

cosα）
=78-2

65

sin（α-θ）（cosθ=

1

5

，sinθ=

2

5

）．
當(dāng)sin（α-θ）=1時，|PA|²+|PB|²+|PC|²取得最小值，且為78-2

65

，
此時α-θ=2kπ+

π

2

，（k為整數(shù)），cosα=cos（2kπ+θ+

π

2

）=-sinθ=-

2 5

5

，
sinα=cosθ=

5

5

，即有P（2-

2 65

5

，-2+

65

5

）．

點評：本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，考查圓的方程的求法：待定系數(shù)法，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．