Question

9．4月10日，2015《中國(guó)漢字聽寫大會(huì)》全國(guó)巡回賽正式啟動(dòng)，并拉開第三屆“漢聽大會(huì)”全國(guó)海選的帷幕．某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值，試估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽寫考試的平均成績(jī)；
（Ⅱ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取1名同學(xué)，求這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分以上的概率；
（Ⅲ）如果從參加本次考試的同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，這3名同學(xué)中考試成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（注：頻率可以視為相應(yīng)的概率）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用概率和為1，可求a；根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可；
（Ⅱ）計(jì)算被抽到的同學(xué)考試成績(jī)?cè)?0（分）以上的概率；
（Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列與期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由題意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，∴a=0.005；
估計(jì)全市學(xué)生參加漢字聽寫考試的平均成績(jī)?yōu)椋?br />0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=76.5…4分
（Ⅱ）（Ⅱ）設(shè)被抽到的這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?0（分）以上為事件A．
P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；
∴被抽到的這名同學(xué)考試成績(jī)?cè)?0（分）以上的概率為0.4； …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，從參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取1名同學(xué)的成績(jī)?cè)?0（分）以上的概率為P=0.4；
X可能的取值是0，1，2，3；
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}•0．{4}^{0}•0．{6}^{3}$=$\frac{27}{125}$；
P（X=1）=${C}_{3}^{1}•0.4•0．{6}^{2}$=$\frac{54}{125}$；
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{4}^{2}•0.6$=$\frac{36}{125}$；
P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{4}^{3}$=$\frac{8}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（12分）
所以 E（X）=0×$\frac{27}{125}$+1×$\frac{54}{125}$+2×$\frac{36}{125}$+3×$\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率布直方圖應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列問題，是綜合性題目．