Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)G在橢圓C上，且$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF₁F₂的面積為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1）（k＜0）與橢圓Γ相交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P（3，0），記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$、點(diǎn)G在橢圓上、$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0及△GF₁F₂的面積為2列式求得a²=4，b²=2，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，把$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，利用基本不等式求得使$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}$取得最大值的k，則直線Γ的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，①
∵左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)G在橢圓上，
∴|$\overrightarrow{G{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{G{F}_{2}}$|=2a，②
∵$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF₁F₂的面積為2，
∴|$\overrightarrow{G{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{G{F}_{2}}$|²=4c²，③
$\frac{1}{2}|\overrightarrow{G{F}_{1}}|•|\overrightarrow{G{F}_{2}}|=2$，④
聯(lián)立①②③④，得a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{k}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}=\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{k（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}=k\frac{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=$k•\frac{\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+1}{\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-3•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+9}$=$k•\frac{2{k}^{2}-4-4{k}^{2}+1+2{k}^{2}}{2{k}^{2}-4-12{k}^{2}+9（1+2{k}^{2}）}=\frac{-3k}{5+8{k}^{2}}$
=$\frac{3}{（-\frac{5}{k}）+（-8k）}≤\frac{3}{4\sqrt{10}}$，當(dāng)且僅當(dāng)$k=-\frac{\sqrt{10}}{4}$時(shí)，取得最值．
此時(shí)l：y=$-\frac{\sqrt{10}}{4}（x-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了計(jì)算能力，是中檔題．