Question

15．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C上的點(diǎn)M（2，m）到焦點(diǎn)F的距離為3．
（1）求拋物線C的方程：
（2）過點(diǎn)（2，0）的直線l，斜率為1，與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知條件設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），由題意和拋物線的定義列出方程求出p的值，即可拋物線C的方程；
（2）由題意混合點(diǎn)斜式方程求出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程消去y后，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出|AB|．

解答 解：（1）∵拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
且拋物線C上的點(diǎn)M（2，m）到焦點(diǎn)F的距離為3，
∴設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），M到準(zhǔn)線的距離為3，
則$\frac{p}{2}+2$=3，解得p=2，
∴拋物線C的方程：y²=4x，
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵過點(diǎn)（2，0），斜率為1，∴直線l的方程是y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，x²-8x+4=0，
∴△＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{（1+k）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（64-16）}$=$4\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，以及韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．