Question

10．已知拋物線(xiàn)y²=-4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與直線(xiàn)l相切，且圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上的圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線(xiàn)y²=-4x的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，利用經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l相切，且圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上的圓的方程，建立方程組，即可求得圓的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x+1）（k≠0）代入拋物線(xiàn)方程，消元，確定P的坐標(biāo)，求得線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程，求得與x軸交于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，即可確定M的取值范圍．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)y²=-4x的焦點(diǎn)為F（-1，0），準(zhǔn)線(xiàn)為l為x=1，
設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與直線(xiàn)l相切，且圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上的圓的方程，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1=0}\\{|a-1|=r}\\{（-1-a）^{2}+^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
∴a=-1，b=2，r=2，
∴圓的方程為（x+1）²+（y-2）²=4；
（2）依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為P，
將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，消元可得k²x²+2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=-$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，∴xP=-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$．
∴yP=k（1-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$）=-$\frac{2}{k}$，
∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y+$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+1+$\frac{2}{{k}^{2}}$）
∴與x軸交于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM=-3-$\frac{2}{{k}^{2}}$＜-3，
∴M的橫坐標(biāo)取值范圍是（-∞，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于中檔題．