3.已知拋物線y2=4x,過點M(0,2)的直線與拋物線交于A,B兩點,且直線與x軸交于點C
(1)求證:|MA|,|MC|,|MB|成等比數(shù)列;
(2)設(shè)$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$,試問α+β是否為定值,若是,求出此定值;若不是,請說明理由.

分析 (1)設(shè)出直線方程,聯(lián)立拋物線方程,消去y,運用韋達(dá)定理,結(jié)合等比數(shù)列的中項性質(zhì),即可得證;
(2)運用向量共線的坐標(biāo)表示,結(jié)合韋達(dá)定理,計算即可得到定值-1.

解答 (1)證明:設(shè)直線的方程為:y=kx+2(k≠0),
聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k2x2+(4k-4)x+4=0①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(-$\frac{2}{k}$,0),
則x1+x2=$\frac{4-4k}{{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4}{{k}^{2}}$②
|MA|•|MB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-0|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x2-0|=$\frac{4(1+{k}^{2})}{{k}^{2}}$,
而|MC|2=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|-$\frac{2}{k}$-0|2=$\frac{4(1+{k}^{2})}{{k}^{2}}$,
∴|MC|2=|MA|•|MB|≠0,
即有|MA|,|MC|,|MB|成等比數(shù)列;
(2)解:由$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$,得
(x1,y1-2)=α(-x1-$\frac{2}{k}$,-y1),(x2,y2-2)=β(-x2-$\frac{2}{k}$,-y2),
即得:α=$\frac{-k{x}_{1}}{k{x}_{1}+2}$,β=$\frac{-k{x}_{2}}{k{x}_{2}+2}$,
則α+β=$\frac{-2{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-2k({x}_{1}+{x}_{2})}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+2k({x}_{1}+{x}_{2})+4}$
由(1)中②代入得α+β=-1,
故α+β為定值且定值為-1.

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì),主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立,運用韋達(dá)定理,同時考查等比數(shù)列的性質(zhì)和向量共線的坐標(biāo)表示,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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②記函數(shù)g(n)=xn(n∈N*),則函數(shù)g(n)的單調(diào)性是先減后增,且最小值為1;
③當(dāng)n∈N*時,yn+kn+$\frac{1}{2}$<ln(1+kn);
④當(dāng)n∈N*時,記數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的前n項和為Sn,則Sn<$\frac{\sqrt{2}(2n-1)}{n}$.
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