Question

14．已知x∈[2，3]，求函數(shù)f（x）=$\frac{1-x+\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}}{2x}$的值域．

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用換元法進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1-x+\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}}{2x}$=$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2x}$+$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}}{2x}$
=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{2{x}^{2}-2x+1}{4{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{1}{4{x}^{2}}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}}$，
令t=$\frac{1}{2x}$，則t∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]，
則f（x）=g（t）=t-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{t}^{2}-t+\frac{1}{2}}$，
則g′（t）=1-$\frac{2t-1}{2\sqrt{{t}^{2}-t+\frac{1}{2}}}$．
∵t∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]，
∴2t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
2t-1∈[$-\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$]，
則-（2t-1）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
則g′（t）=1-$\frac{2t-1}{2\sqrt{{t}^{2}-t+\frac{1}{2}}}$＞0，
則g（t）在t∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]上為增函數(shù)，
則g（$\frac{1}{6}$）≤g（t）≤g（$\frac{1}{4}$），
即$\frac{\sqrt{13}-2}{6}$≤g（t）≤$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{\sqrt{13}-2}{6}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．