Question

17．已知命題p：?a∈（-∞，-2），曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角$θ＞\frac{π}{4}$，則下面敘述正確的是（　�。�

• A． ￢p為：?a∈（-∞，-2），曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角θ＞$\frac{π}{4}$
• B． ￢p為：?a∈（-∞，-2），曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角$θ＞\frac{π}{4}$
• C． ￢p：?a∈[2，+∞），曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角θ≤$\frac{π}{4}$
• D． ￢p是假命題

Answer 1

分析 寫出全稱命題的否定，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合a的范圍可得f′（1）＞1，即曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角θ＞$\frac{π}{4}$，知命題p為真命題，則命題￢p為假命題．

解答 解：由已知可得，￢p為：：?a∈（-∞，-2），
曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角$θ≤\frac{π}{4}$，
∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-a}{（x+1）^{2}}$，∴f′（1）=$\frac{3-a}{4}＞\frac{5}{4}＞1$．
即曲線f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處切線的傾斜角θ＞$\frac{π}{4}$，
故p是真命題，則￢p是假命題，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查全稱命題的否定，是中檔題．