Question

5．設(shè)m＞0，雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1與圓N：x²+（y-m）²=5相切，A（-$\sqrt{5}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），若圓N上存在一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=4，則點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線的定義可得P在雙曲線上，且P為雙曲線與圓相切的切點(diǎn)，通過圓與雙曲線相切，求出m以及切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解點(diǎn)P到x軸的距離．

解答 解：雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+（y-m）^{2}=5}\end{array}\right.$，消去x化簡(jiǎn)可得5y²-2my+m²-1=0，雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1與圓N：x²+（y-m）²=5相切，
可得：△=0，化簡(jiǎn)可得m²=$\frac{5}{4}$，m＞0，可得m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，此時(shí)y=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，x=±$\frac{\sqrt{105}}{5}$
A（-$\sqrt{5}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），若圓N上存在一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=4，
可得A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，
由雙曲線的定義可得P在雙曲線上，
且P為雙曲線與圓相切的切點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)（±$\frac{\sqrt{105}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{10}$）．
即有點(diǎn)P到x軸的距離為：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查圓的切線的斜率求法，以及雙曲線的切線的斜率求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．