Question

13．若函數(shù)f（x）滿足下列條件：在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M；反之，若x₀不存在，則稱函數(shù)f（x）不具有性質(zhì)M
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=2^x具有性質(zhì)M，并求出對應(yīng)的x₀的值；
（Ⅱ） 試探究函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）是否具有性質(zhì)M？并加以證明．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）求得x₀的值，即可證明該命題；
（2）問題轉(zhuǎn)為方程a^x=$\frac{a}{a-1}$是否有解的討論，當a＞1方程有解，當0＜a＜1方程無解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2^x，
∴f（x₀+1）=${2}^{{x}_{0}+1}$，f（x₀）+f（1）=${2}^{{x}_{0}}$+2¹，
所以，${2}^{{x}_{0}+1}$=${2}^{{x}_{0}}$+2¹，
即${2}^{{x}_{0}}$=2，解得x₀=1，
∴函數(shù)f（x）=2^x，具有性質(zhì)M；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）恒具有性質(zhì)M，
即關(guān)于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
若f（x）=a^x，則方程（*）可化為a^x+1=a^x+a，
化簡得（a-1）a^x=a，即a^x=$\frac{a}{a-1}$，
①當0＜a＜1時，$\frac{a}{a-1}$＜0，所以方程（*）無解，
因此，f（x）=a^x不具備性質(zhì)M；
②當a＞1時，$\frac{a}{a-1}$＞0，由于a^x∈（0，+∞），
所以，必存在x₀∈R，使得${a}^{{x}_{0}}$=$\frac{a}{a-1}$，即x₀=$lo{g}_{a}\frac{a}{a-1}$，
所以，所以方程（*）必有解，因此，f（x）=a^x具備性質(zhì)M．
綜合以上討論得，當a∈（0，1），f（x）不具有性質(zhì)M，當a∈（1，+∞），f（x）具有性質(zhì)M．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其運算，涉及指數(shù)的運算性質(zhì)和方程根的確定，屬于中檔題．